Casos de Factorización

La factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

CASO I FACTOR COMÚN:

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

a) Factor común de un monomio

i. Descomponer en factores α²+2α

α² y 2α contienen el factor común α. Escribimos el factor común α como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los coeficientes a dividir α²÷α= α y 2α÷α=2, y tendremos

α²+2α= α(α+2)

ii. Descomponer 10α²-5α+15α³

Los coeficientes 10,5 y 15 tienen el factor común 5. De las letras el único factor común es α ya que esta en los tres términos de la expresión dada y tomamos con su menor exponente α.

El factor común es 5α. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro los coeficientes a dividir 10α²÷ 5α=2α -5α÷5α= -1 y 15α³÷5α=3α³. Tendremos

10α²-5α+15α³ = 5α(2α-1+3α³)

b) Factor común de un polinomio

i. Descomponer x(α+b)+m(α+b)

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (α+b).

Escribo (α+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los coeficientes de dividir los términos de la expresión dada entre el factor común (α+b), osea :

x(α+b) m(α+b)

--------- = x , y , -------------- = m

(α+b) (α+b)

x(α+b)+m(α+b)= (α+b)(x+m)

CASO II FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o más términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

i. Descomponer αx+bx+αy+by.

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

αx+bx+αy+by= (αx+bx) + (αy+by)

= x(α+b) + y(α+b)

= (α+b) + (x+y)

La agrupación puede hacerse generalmente de mas de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis despues de sacar el factor común de cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no puede descomponerse por este método.

Asi en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1º y 3er términos que tiene el factor común α y el 2º y 4º que tiene el factor común b y tendremos:

αx+bx+αy+by= (αx+ αy) + (bx +by)

= α(x+y) + b(x+y)

= (x+y) + (α+b)